من المتعارف عليه لدى دارسي الرياضيات إن التبولوجي (Topology) تصنف على إنها من مواضيع الرياضيات البحتة و بالرغم من إن التبولوجي يدخل في بنية اغلب مواضيع الرياضيات التطبيقية مثل حساب التفاضل والتكامل (Calculus) , المعادلات التفاضلية (Differential Equations) , نظرية الاحتمالات (Probability Theory) وغيرها إلا ان للمفاهيم التبولوجية تطبيقات مباشرة في حياتنا مثل التبولوجي الرقمي (Digital Topology) سنقوم بتقديم شرح مبسط عنها مع بعض المفاهيم التبولوجية ذات الصلة بأقل قدر ممكن من التكنيك الرياضي .

الآن من حق الكل ان يسأل “ما هو التبولوجي؟ ” وابسط اجابة هي : العلم الذي يدرس الصفات التبولوجية للاشكال الهنديسة , وحتى لا نفسر الماء بعد الجهد بالماءِ نضيف ان الصفات التبولوجية هي تلك الصفات التي يحافظ عليها الشكل اذا ما تعرض لشد دون تمزيق او توصيل (تغيرات ثنائية الاستمرار او تشاكلات Topological Homeomorphism) وكمثال على ذلك جذب شريط مطاط ليزداد طوله بضع سنتمترات , بما ان الطول اختلف بتشاكل تبولوجي (شد دون تمزيق او توصيل) نستنتج من ذلك ان الطول (وبالتالي المسافات) صفة غير تبولوجية .

اشكال متشاكلة تبولوجياً

بناء على ذلك بامكاننا ان ندعي ان الدائرة والمربع والمستطيل و أي منحني مغلق اخر اشكال متشاكلة تبولوجيا لاننا يمكن ان نحول كل واحد منها الى الاخر بشد دون تمزيق او توصيل وكذلك الكرة متشاكلة مع كل مجسم صلد ذو سطح متصل مثل المكعب او متوازي السطوح او حجر صلد لكنها غير متشاكلة مع جسم ذو ثقب من الداخل كإطار السيارة او قطعة من الكعك المحلى ( دونا ) .

الكرة لا تكافئ اطار السيارة تبولوجياً

من التقليعات التي تطلق على التبولوجيين ــ المتخصصين بالتبولوجي ــ انك اذا اردت ان تُضيّف احدهم بقطعة من الكعك المحلى (دونا) مع كوب من الشاي فيكفي ان تقدم له احدهما لان الدونا متشاكلة تبولوجياً مع كوب الشاي ! .

كوب الشاي يتحول إلى قطعة كعك محلى (دونا) بشد دون تمزيق او توصيل

تعتبر الورقة البحثية التي قدمها ليونارد اويلر في عام 1736 حول مشكلة جسور كونغزبرغ (كليينكراد بروسيا حاليا) اول ورقة بحثية في التبولوجي حيث اثبت ان الجسور لا يمكن ان يقطعها احد دون ان يمر بجسر واحد على الاقل مرتين وذلك بغض النظر عن طول الجسور او المسافة التي بينها .

بقي ان نشير الى مفهوم المجموعة المفتوحة والمغلقة وهما بمثابة وحدات البناء في التبولوجي . نقول عن المجموعة مجموعة مفتوحة (Open Set) اذا كانت لا تحتوي على نقاط حدودها مثل على ذلك مجموعة كل النقاط بين مركز ومحيط الدائرة ستكون مجموعة لا تحتوي على نقاط حدودها والتي هي هنا محيط الدائرة . اما المجموعة المغلقة (Closed Set) فهي المجموعة التي تحوي كامل نقاط حدودها فتكون مغلقة على نفسها وكمثال على مجموعة مغلقة الدائرة بكاملها هي مجموعة مغلقة لانها تتضمن محيطها الذي هو نقاط الحدود لها , وكاستنتاج من كلامنا السابق نستطيع ان نقول ان المجموعة المفتوحة تتحول إلى مغلقة إذا أضفنا لها نقاط الحدود . اما نقاط الحدود (Boundary Points) لمجموعةٍ ما فهي كل النقاط التي تكون مجاورة للمجموعة ولمتممتها (متممة المجموعة هي كل نقاط الفضاء التي لا تنتمي للمجموعة) في نفس الوقت . كمثال يبسط المسألة لنتخيل بقعة زيت طافية في عرض البحر , لو اتفقنا ان جزيئات الماء الملامسة لبقعة الزيت تمثل نقاط الحدود للبقعة (الاتفاق هذا يتم من خلال إعطاء التعريف الرياضي للفضاء التبولوجي) , فان بقعة الزيت ستمثل مجموعة مفتوحة لان كل نقاط حدودها (جزيئات الماء الملاصقة لها) لا تنتمي لها بالواقع اما ماء البحر المحيط بالبقعة فسيمثل مجموعة مغلقة لانه يحتوي كل نقاط حدوده مع بقعة الزيت (جزيئات الماء الملاصقة لها) . من هذا المثال نستطيع ان نخرج باستنتاج مفاده ان متممة المجموعة المفتوحة (بقعة الزيت) هي مجموعة مغلقة (ماء البحر) بالضرورة .

الخط الرقمي والمستوى الرقمي :

التبولوجي الرقمي يهدف لدراسة العلاقات التبولوجية في عرض الصور الرقمية (شاشة الحاسوب كمثال) . تعد الورقة البحثية المنشورة عام 1979 المعنونة “”Digital Topology للباحث الامريكي بروفسور عزرائيل روزنفيلد (1931 – 2004) المنشورة بدورية “The American Mathematical Monthly” من اقدم الورقات البحثية في موضوع التبولوجي الرقمي .

 بغض النظر عن ما اذا كانت الصورة ثنائية او متدرجة الرمادي او ملونة سوف نتعامل مع بكسلات (Picture Elements) الصورة الرقمية اما معتمة او مضاءة لسهولة الشرح وبالإمكان تعميم الأمر باستخدام المنطق الضبابي (Fuzzy Logic) .

الخط الرقمي (Digital Line) هو عبارة عن صورة رقمية ذات بعد واحد وهو فضاء تبولوجي مبني على مجموعة الأعداد الصحيحة (الموجبة والسالبة والصفر) , ولان البناء التبولوجي يعتمد على شكل المجاميع المفتوحة والمغلقة فاننا سنطلق على كل عدد صحيح فردي اسم بكسل مفتوح (Open Pixel) وكل عدد زوجي سنطلق عليه نقطة حدودية بين البكسل المفتوح الذي يسبقه والذي يليه وكما في الشكل .

رسم توضيحي للخط الرقمي المربعات تمثل بكسلات مفتوحة (اعداد فردية) اما الخطوط فتمثل نقاط حدودية (اعداد زوجية)

اما المستوى الرقمي فهو عبارة عن خطين رقميين متعامدين حيث سيمثل الزوج المرتب المتكون من عددين صحيحين فرديين (فردي , فردي) البكسل المفتوح اما بقية الازواج المرتبة من نوع (فردي , زوجي) , (زوجي , فردي) , (زوجي , زوجي) فتمثل نقاط حدودية افقية , عمودية و زاوية حدودية على التوالي وكما في الشكل التالي .

رسم توضيحي للمستوي الرقمي المربعات الرمادية تمثل بكسلات مفتوحة اما الخطوط العمودية والنقاط في الزوايا فتمثل نقاط حدودية

الان ما دخل كل ذلك بمعالجة في الصور الرقمية ؟ . نحن نعرف ان  الأمر المهم في معالجة الصور الرقمية هو تحديد خصائص الأشكال في الصورة الرقمية مثل الحرف في الصورة الرقمية أدناه .

تمثيل الحرف B على المستوي الرقمي

بحيث يسهل ذلك من التعامل معه في برامج المعالجة . إن تبولوجي المستوى الرقمي يقوم بذلك من خلال التشاكلات التبولوجية حيث إن كل صورة ممثلة في المستوى الرقمي هي بالحقيقة مجموعة بكسلات مفتوحة (ازواج مرتبة من الاعداد الفردية) , وبإمكاننا ان ندعوها مجموعة مفتوحة لانها اتحاد لمجاميع مفتوحة (لا تحتوي على نقاط حدودها) , وبالتالي فان أي مجموعة مفتوحة متشاكلة معها بتأثير تبولوجي المستوى الرقمي ستكون نسخة مشوهة منها إذا جاز التعبير . الحقيقة إن بنية التبولوجي الرقمي لا تسمح بتكافؤ بين أشكال مختلفة إنما بتكافؤ بين نسختين (ربما مشوهتين) من نفس الشكل وهذا مهم جداً بتصنيف الأشكال والتعرف عليها . إن سهولة التعامل مع تبولوجي المستوى الرقمي تكمن في تجريدها الأشكال في الصور الرقمية  وتحويلها إلى مجموعة من البكسلات المفتوحة (ازواج مرتبة من الاعداد الفردية) وبالتالي سهولة إيجاد تشاكلات تبولوجية بينها وتصنيفها بالاعتماد على ذلك .

………………………………

الصور واغلب المعلومات الرياضية ماخوذة من كتاب

C. Adams and R. Franzosa “Introduction to Topology pure and applied”